变异指标

 

第二节　变异指标

一、变异指标的意义及种类

　　设有甲乙两人，对同一名患者采耳垂血，检查红细胞数（万/mm ³ ），每人数五个计数盘，得结果为

　 　 　 　 　 　 合计 均数 甲 480 490 500 510 520 2500 500 乙 440 460 500 540 560 2500 500

两人计数的均数都是500，能说两人的检验技术相同吗？不能，因为甲的计数结果比较密集，而乙的分散，因此甲的检验精度显然比乙的高。从上可以看出：描述一群变量值，除用平均数等表示其集中位置外，还要说明其分散或变异情况。说明变异情况的特征值称变异指标。变异指标的种类较多，下面分别介绍极差、四分位数间距、均差、方差、标准差及变异系数。

1．极差　最大值与最小值之差称极差（或全距），符号为R，是变异指标中最简单的一种。如上例甲计数的极差为520－480=40，乙的为560-440=120。可见乙的计数较甲的波动大。一般把最小值与最大值写在括号里，附在极差的后面。如上例写成40（480～520）与120（440～560）。其单位与变量值的相同。

当调查例数增多时，遇到较大或较小极端值的机会就加大，因此最大值与极差随着例数的增多而加大，但最小值却随着例数的增多而变小。

极差计算简便，但只考虑了最小、最大值，因此易受个别极端值的影响，且随例数的多少而变动，不稳定。仅用于粗略地说明变量值的变动范围。但在正态分布中可用以估计标准值范围，详见有关文献。

　　2．四分位数间距　极差的不稳定主要是受两极端数值的影响，于是有人将两端数据按比例去掉一定例数，这样所得数据就比较稳定了。例如两端各去掉25%，取中间50%数据的数值范围，那么只要计算P ₂₅ 与P ₇₅ ，求P ₇₅ 与P ₂₅ 之差即得四分位数间距，符号为Q。

　　Q=P ₇₅ -P ₂₅ （4.12）

例4.7　试计算表4.8七岁男童坐高的四分位数间距

　　求 P ₂₅ 的位置102×.25=.25.5.

　　求 P ₇₅ 的位置102×.75=.76.5.

求累计频数得：

　　L ₂₅ =65，L ₇₅ =68，

　　A ₂₅ =22，A ₇₅ =75，

　　f ₂₅ =15, f ₇₅ =13, i=1

表4.8　7岁男童的坐高

坐高(cm) 例数(f) 累计频数 61- 1 1 62- 3 4 63- 4 8 64- 14 22 65- 15 37 66- 21 58 67- 17 75 68- 13 88 69- 7 95 70- 5 100 71- 2 102 合计 102 ―

代入式（4.5）得：

Q=68.12-65.23=2.89 cm

有50%的7岁男童，坐高在65.23～68.12cm之间，其四分位数间距为2.89cm。

3．均差　四分位数间距虽比极差稳定，但仍只是两点之间的距离，没有利用每个变量值的信息。于是有人计算每个变量值与均数（或中位数）差的绝对值之和，然后平均称为均差（或平均直线差）作为变异指标之一。

　　　　　 (4.13)

例4.8 试计算4.3中，心重的均差。

由例4.3知X=293.75g，代入式（4.13）得

　　4．方差　式式（4.13）中用变量值与均数之差的绝对值之和∑�X-X�，而不用离均差之和∑(X-X)是因为∑（X-X）=0，不能说明变异情况，故取绝对值以去掉负号。亦有人用平方的办法，即用离均差平方和∑（X-x ） ² ，既去掉了负号，又提高了指标的灵敏性。因为数值愈大，平方后增大的愈多，所以离均差稍有变化，就能从指标上反映出来。例如有甲乙两组数据如下：

　 　 　 　 　 　 X ∑�X-X� ∑(X-X) ² 　 甲组 10 11 12 13 14 12 6 10 乙组 9 12 12 13 14 12 6 14

　　乙组仅有两个数据与甲组的不同，这种不同从∑�X-X�或均差上是反映不出来的，但从∑（X-X） ² 上却反映出来了。以∑（X-X） ² 组成的变异指标有方差与标准差。方差是标准差的平方，将在第八章讨论，下面先介绍标准差。

二、标准差

1．标准差的公式　样本标准差是用得最多的变异指标，其公式为

　　 (4.14)

式（4.14）中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度，但计算标准差时用了样本均数X，因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据，它们的均数为5。由于受到均数为5的限制，4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4个数据只能是7，否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。

2．标准差的计算

（1）按基本公式（4.14）计算

例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。

已算得X=293.75g，代入式（4.14）得

（2）递推法当用电子计算机进行计算，希望每输入一个数据，都能得到X与S，则将式（4.8）与式

（4.5）配合计算。

(4.15)

　　这里S _n 表示n个数据的标准差，S _n-1 表示n-1个数据的标准差。X _n 是第n个数据，X _n-1 是n-1个数据的均数。

　　例4.10 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X ₁₉ =292.37，S ₁₉ =38.71。X ₂₀ =320，代入式（4.15）得