众数、中位数、百分位数的意义及计算法

 

（一）众数　出现次数最多的变量值，或频数表上频数最多组的组中值即为众数。如表4.3中坐高的众数是66.5cm。这样仅由观察所得的众数称为观察众数。同一资料常因所用组距不同和下限取值不同，观察众数稍有出入，故又称概约众数，与观察众数相对应的尚有理论众数。理论众数的算法根据频数曲线类型的不同而异，数学上为与极大值相应的横坐标。

（二）中位数及百分位数

1．中位数 将n个变量值从小到大排列后，居中的一数就是中位数，符号为M，有的书上用Md。它将变量值分为两半，一半比它小，一半比它大。

　　X ₁ <x> ₂ <… <m> <…X _n-1 <x> _a </x> </m> </x>

当n为奇数时

　　　　　　　　　　　　 （4.1）

当n为偶数时

（4.2）

当资料呈明显偏态，或有个别的特小、特大值存在时，中位数的代表性往往比均数好。例如有5个变量值8、9、9、10、19。其中4个在9左右，但由于受数值19的影响，均数为11，不能很好代表中等水平。求中位数

比较符合实际。

根据频数表计算连续型变量的中位数可用式（4.3）或式(4.4)

 　（4.3）

　　或　　　　　　  　（4.4）

　　式中L、U分别为中位数所在组的下限及上限，A ₁ 为小于L的各组的累计频数，A ₂ 为大于U的各组的累计频数，f _M 、i分别为中位数所在组的频数和组距。现用表4.5说明计算步骤如下：

（1）求出中位数的位置。在频数表上，数据已由小到大排好了。中位数将频数等分为2，因此先计算n/2，得中位数的位置。

n/2=157/2=78.5

（2）列出频数表、计算累计频数。列频数表时，组段的短横“－”写在两个组段下限之间，其意义仍与写在右边的相同，见表4.5第（1）栏。

　　第（3）栏为累计频数。此例自上而下累计到略小于n/2为止得A ₁ =41，表示住院天数为10天及以下的有41个人。若要知道第78.5人的变量值，就需要从10-15组内再累计（78.5-41=）37.5人。假定该组的49人在10-15天内均匀分布着（见图4.4），那么只要在10天上再加（78.5-41）/49个组距便是中位数了。所以

用符号表示见式（4.3）。

　　若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A ₂ =67。也得出中位数在10-15组段内。

图4.4　中位数计算示意图

　　（3）写出L或U、f _M 及i。

（4）代入公式得M。

例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。

n/2＝157/2＝78.5

表4.5　杆菌痢疾治愈者的住院天数

　　L=10或U=15，f _M =49，i=5。

代入公式

杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。

中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式（4.4）可得到同样的结果。

此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。

　　2．百分位数　中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为P _x ，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P ₂₅ 、P ₅₀ 表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式（4.3）中的n/2以nx/100代替，M以X代替。

　　　　　　　　（4.5)

　　式中L _X 、f _x 、i _x 分别为P _x 所在组的下限、频数及组距。A为小于L _x 各组的累计频数。

　　例4.2，求例4.1中住院天数的P ₉₀ 。

　　（1）计算　 

　　（2）累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第（4）栏，得A=135。知P ₉₀ 在30-35组内，因此Lx=30，i=5,f _x =7

（3）代入公式

第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。