标准差

 

1．标准差的公式　样本标准差是用得最多的变异指标，其公式为

　　 (4.14)

式（4.14）中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度，但计算标准差时用了样本均数X，因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据，它们的均数为5。由于受到均数为5的限制，4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4个数据只能是7，否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。

2．标准差的计算

（1）按基本公式（4.14）计算

例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。

已算得X=293.75g，代入式（4.14）得

（2）递推法当用电子计算机进行计算，希望每输入一个数据，都能得到X与S，则将式（4.8）与式

（4.5）配合计算。

(4.15)

　　这里S _n 表示n个数据的标准差，S _n-1 表示n-1个数据的标准差。X _n 是第n个数据，X _n-1 是n-1个数据的均数。

　　例4.10 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X ₁₉ =292.37，S ₁₉ =38.71。X ₂₀ =320，代入式（4.15）得

（3）直接法 不需先计算均数，直接用变量值代入式（4.16）或式(1.17)计算。

（4.16)　

　　或　　　 (4.17)

式（4.16）的分子是由式（4.14）的分子简化而得来的，证明如下。

　　例4．11用ELISA（酶联免疫吸附测定）法检测vero-E ₆ ， 细胞培养 上清正常标本10份的结果（100XOD ₄₉₀ 值）为2，3，3，4，4，5，5，5，6，8，求标准差。

若用式（4.16）则先计算

∑X=2+3+3+…+6+8=45

　　∑X ² =2 ² +3 ² +3 ² +…6 ² +8 ² =229

若用式（4.17）则先计算

∑fX=1×2+2×3+…+1×6+1×8=45

　　∑fX ² =1×2 ² +2×3 ² +…1×6 ² +1×8 ² =229

然后代入式（4.16）或式（1.17）结果相同。