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数学建模的方法及步骤

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一、数学建模的方法

数学建模面临的实际问题是多种多样的,建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同,所得模型及类型也不同。虽然没有一个适用于一切实际问题的建模准则,但一般说来建立数学模型的方法大体上可分为以下两大类。

1. 机制分析方法——在对研究对象的内部机制有一定了解时使用。根据对研究对象特性的认识,分析影响系统性能的各因素间的关系,找出反映内部机制的规律。该方法建立的模型通常具有明确的物理或现实意义。

2. 测试分析方法——在对研究对象内部机制知道得很少或者一无所知时使用。该方法将研究对象视为一个“黑箱”系统(在系统分析中,若对系统内部一无所知,称其为“黑箱”;全部知道,称为“白箱”;介于两者之间,则称为“灰箱”),通过测量系统的多个输入输出数据,并以获得的数据为基础,利用信号/统计分析方法,按照确定好的统计准则,在对应的一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法通常又称为系统辨识(System Identification)。

将这两种方法结合起来,即用机制分析建立模型的结构,用系统辨识确定模型的参数,也是常用的建模方法。在实际过程中具体采用哪种方法建模,主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。如果掌握了机制方面的一定知识,模型也要求具有反映内部特性的物理意义,则应以机制分析方法为主;而模型中参数的具体值,可以用系统辨识或其他统计方法得到。如果对对象的内部机制基本不了解,且模型仅用于作输出的分析及预测,则可以系统辨识方法为主。

二、数学建模的一般步骤

一般说来,建立数学模型要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与实际问题的性质和建模的目的有关。好的模型应能反映原型的重要特征,特别是人们关注的那部分特征。由于在医学相关的建模中,人们总是希望能够把目前已了解的医学相关知识及机制与建模的过程相结合,得到更准确的数学模型,因此,机制分析方法更为常用。下面给出了机制分析法建模的主要步骤。

1. 问题表述 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的。这一步是建模基础,需要对问题涉及的生理、机制或临床知识进行总结,如疾病的表现、危害、调节机制、致病机制、常用的诊断方法等,梳理研究对象的特征及影响因素,提出需要解决的问题及其数学表述。在这一步中,最重要的是要根据问题设计实验规程,确定需要测量或收集的变量,进行实验并收集数据。

2. 模型构建 根据对象的特征和建模目的,对实际问题进行必要的、合理的简化,并在合理假设的基础上,建立模型的结构及参数。这是建模至关重要的一步,适当的假设及简化是其关键,如果考虑影响问题的所有因素,可能会使模型过于复杂且很难求解。为了简化处理过程,在这一步应尽量使问题简单化、线性化,并在保持反映问题本质的基础上,尽量采取简单的数学工具。对于医学实验建模,这一步主要包括两个方面:对数据的预处理,如观察、整理、格式化数据等,为建模作准备;以及用适当的公式表达模型,即建立模型。

3. 模型求解 模型建立后,还需要确定参数对模型求解。简单的模型可以通过解方程、定理证明、逻辑运算等数学方法得到解的直接表达式,如例7-1中的直线方程。但很多模型可能很难直接得出解的表达式,需要通过进一步的近似、简化,才能得到问题的直接求解;或者必须借助计算机的计算能力和数值计算方法,逐步迭代求出模型的解或分布。合理利用常用的处理软件如MatlabMathematicsLingoSAS等提供的算法和函数,可以解决模型求解中的大部分问题。

4. 模型分析及检验 对模型的输出进行数学上的分析及检验,将模型输出结果与实测数据或实际情况进行对比分析、误差分析、数据稳定性分析等,检测所得结果的实际意义,验证建立的数学模型的准确性。如果结果不够理想,应该修改、补充假设,或者调整模型结构及参数,重新回到第二步建模。医学中的大部分模型都需要反复调整及检验,才能不断完善。由于没有模型是普适的、放之四海而皆准的,因此在这一步中,还需要根据实验数据及模型输出结果,通过线性回归等手段,对模型及参数的有效性进行检测评价,包括其准确性、精密度、稳健性(robustness)等,以及模型对各参数的灵敏度分析,以确定所建模型的适用范围。

5. 模型应用 建立的模型的目的是应用,好的模型需要在实际中应用,并在应用中不断改进和完善。建立模型后,模型的很多应用可通过模拟(simulation)实验来实现,即在确定模型及参数后,向模型送入不同的输入,得到输出以反映“如果输入变化时将会发生什么?”用于预测对象的未来发展及变化,并为研究对象的优化决策和控制提供指导。图7-2给出了建模各步骤间以及研究对象间的相互关系。

 

 

  7-2 数学建模的一般步骤

需要指出的是,并不是所有建模过程都要经过上述步骤,实际应用中各步骤间的界限也并非如此分明,其中问题的表述、模型的构建、检验及评估是最主要也是最重要的步骤。在医学特别是医学实验研究中,从实验发现规律,再用数学探讨模型,从而把对人体或动物实验的研究转化为数学模型的模拟分析,是医学建模的基本特征。在医学实验中数学建模一般可简化为以下模式:医学实际问题→数学化(定量测量及分析)→数学模型(定量化公式或定性指标)→反馈修正(实测数据检验)→定性理论(对问题及其机制的解释)。在下面的两节中,我们将通过医学及医学实验中的建模实例,来进一步阐述具体的建模过程。

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