数学模型及建模

数学模型有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着计算技术的飞速发展，数学以空前的广度和深度向各个领域渗透，数学模型及建模得到了人们越来越多的关注。

一、数学模型的概念

概括而言，数学模型是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，从定性特别是定量的角度来描述实际问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论对其进行深入的分析和研究，为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

简单地说，数学模型就是对实际问题的一种数学表述，即用数学表达（如函数、图形、方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面（某种特征）的存在或变化规律。

针对实际问题建立数学模型的过程就称之为数学建模（modeling）。由于实际问题的复杂性，通常在建模过程中必须进行一些必要的简化和假设，并通过将问题抽象化、引进变量表示等处理过程，将实际问题用数学方式表达，然后运用先进的数学方法及计算机技术对得到的表达进行求解或模拟。

通过建立数学模型的方法研究客观世界是人类认识自然的一个基本方法。利用所建立的模型，可以在一定程度上解释特定现象目前的状态及表现，预测对象的未来发展及变化，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。当然，上述应用的准确程度完全依赖于所建数学模型对该问题描述的准确性。可以说，要想用数学方法解决实际中的问题，就必须建立数学模型。从这个意义上讲，数学建模和数学具有同样古老的发展及应用历史。两千多年以前创立的欧几里得几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，1953年建立的DNA 超螺旋结构分子模型等，都是科学发史上数学建模的成功范例。

数学的定量化表达特性使得它特别适于阐述各种现象或问题的机制及本质。随着不同领域包括对定量化需求的日益增强，以及计算机技术及设备的快速发展及应用，除工程技术领域外，数学模型在其他领域也越来越受到人们的重视，建模成为科学研究不可缺少的工具。

随着数学思维及方法不断向医药学领域的渗透，数学建模在医学及实验中的地位也越来越重要。

下面就以一个简单的例子，说明在医学实验的分析中如何应用模型。

例7-1：对30～80岁妇女正常收缩压Y (mmHg)与年龄X (岁)的统计结果如表7-1所示。希望通过分析该结果，得到该年龄段妇女正常收缩压与年龄的关系。

表7-1　30～80正常岁妇女正常收缩压与年龄的分布

年龄Y (years)    30      40     50     60    70     80

收缩压X (mmHg)  106     120     135   150   162    176

 

求解：通过建立简单的数学模型，可以得到上述关系的直接数学表达式。从统计数据的分布（如图7-1散点所示）可以看出两者间的关系近似线性分布。若假设其为线性分布，则可利用最小二乘法得到一条回归直线，描述该年龄段妇女正常收缩压与年龄间的关系，如图7-1直线所示。得到的直线方程为：Y=1.40X+64.34，利用该直线，我们可以计算出该年龄段任一年龄对应的正常收缩压值。

图7-1   30～80岁妇女年龄-收缩压分布及其线性回归

二、数学模型的类型及特点

由于数学模型在各领域应用的广泛性，涉及的模型种类是多种多样的。如果按照研究对象的实际应用领域分，则包括人口模型、交通模型、环境模型、生理模型、经济模型、社会模型等。如果按研究方法和对象的数学特征来分，则可分为初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、稳定性模型、统计模型等，示例7-1就属于初等的统计模型。另外，根据研究对象的规模及模型的表现特性，模型还可分为近似和有限、微观和宏观、描述和说明、离散（discrete）和连续（continuous）、时变（time-variant）和时不变（time-invariant）、静态（static）和动态（dynamic）、集中（lumped）和分布（distributed）、线性（linear）和非线性（nonlinear）、确定（deterministic）和随机（stochastic）模型等。实际中，这些类型常结合出现，如非线性时变系统，静态时不变离散系统等。在生物医学研究中，常根据研究对象的领域和所采用的建模方法对得到的模型进行分类及命名，如血流动力学模型、生物种群生长模型、人口预测模型等。

从前面的介绍及实例可以看出，模型来源于对实际对象的数学化或对实验数据的分析，因此，利用模型计算出的结果应该和系统中或实验中获得的数据或知识相一致。同时，模型还应该具有一定的预测性（prediction），能够准确地预测未来或其他条件下实验结果会出现什么变化。最重要的是，建立的模型应有助于加深我们对生理系统或其机制的理解，比如第三节中介绍的药物动力学模型，其结果对于加深我们对药物在体内的运转规律、药物的疗效等的了解，非常有帮助。

此外，由于建立的数学模型是将实际对象抽象化、理想化的产物，如果不同研究对象的变化规律相同，模型可以转移到其他的领域应用，不为对象的所属领域独有。特别需要注意的是，由于模型只是在一定程度上反映了研究对象某一方面的特征，因此通过模型得到的结论，共通用性和精确性只是相对的、近似的，是有局限性的。正如一句被广为引用的话所说，“所有的模型都是错误的，只有一些模型是有用的。”对于生物系统来说，由于其本身的复杂性，存在着很多不可控制的变量影响着数据的产生过程；加上实验中有限的个体及其有限的观察值，建模只能做到对系统相对的近似和简化，不可能得到绝对准确的模型和任意精度的参数。