统计第五课：Logistic 回归分析——被冷落的「皇妃」
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Logistic 回归：实际上属于判别分析，因拥有很差的判别效率而不常用。
1． 应用范围：
① 适用于流行病学资料的危险因素分析
② 实验室中药物的剂量-反应关系
③ 临床试验评价
④ 疾病的预后因素分析
2． Logistic 回归的分类：
① 按因变量的资料类型分：
二分类
多分类
其中二分较为常用
② 按研究方法分：
条件 Logistic 回归
非条件 Logistic 回归
两者针对的资料类型不一样，后者针对成组研究，前者针对配对或配伍研究。
3．Logistic 回归的应用条件是：
① 独立性。各观测对象间是相互独立的；
② LogitP 与自变量是线性关系；
③ 样本量。经验值是病例对照各 50 例以上或为自变量的 5-10 倍（以 10 倍为宜），不过随着统计技术和软件的发展，样本量较小或不能进行似然估计的情况下可采用精确 logistic 回归分析，此时要求分析变量不能太多，且变量分类不能太多；
④ 当队列资料进行 logistic 回归分析时，观察时间应该相同，否则需考虑观察时间的影响（建议用 Poisson 回归）。
4． 拟和 logistic 回归方程的步骤：
① 对每一个变量进行量化，并进行单因素分析；
② 数据的离散化，对于连续性变量在分析过程中常常需要进行离散变成等级资料。可采用的方法有依据经验进行离散，或是按照四分、五分位数法来确定等级，也可采用聚类方法将计量资料聚为二类或多类，变为离散变量。
③ 对性质相近的一些自变量进行部分多因素分析，并探讨各自变量（等级变量，数值变量）纳入模型时的适宜尺度，及对自变量进行必要的变量变换；
④ 在单变量分析和相关自变量分析的基础上，对 P ≤α（常取 0.2，0.15 或 0.3）的变量，以及专业上认为重要的变量进行多因素的逐步筛选；模型程序每拟合一个模型将给出多个指标值，供用户判断模型优劣和筛选变量。可以采用双向 筛选技术：a 进入变量的筛选用 score 统计量或 G 统计量或 LRS(似然比统计量)，用户确定 P 值临界值如：0.05、0.1 或 0.2，选择统计量显著且最大的变量进入模型；b 剔除变量的选择用 Z 统计量 (Wald 统计量)，用户确定其 P 值显著性水平，当变量不显者，从模型中予以剔除。这样，选入和剔除反复循环，直至无变量选入，也无变量删除为止，选入或剔除的显著界值的确定要依具体的问 题和变量的多寡而定，一般地，当纳入模型的变量偏多，可提高选入界值或降低剔除标准，反之，则降低选入界值、提高删除标准。但筛选标准的不同会影响分析结 果，这在与他人结果比较时应当注意。
⑤ 在多因素筛选模型的基础上，考虑有无必要纳入变量的交互作用项；两变量间的交互作用为一级交互作用，可推广到二级或多级交互作用，但在实际应用中，各变量最好相互独立 (也是模型本身的要求)，不必研究交互作用，最多是研究少量的一级交互作用。
⑥ 对专业上认为重要但未选入回归方程的要查明原因。
5． 回归方程拟合优劣的判断（为线性回归方程判断依据，可用于 logistic 回归分析）
① 决定系数 (R2) 和校正决定系数 ( Logistic 回归分析简介 - 初学乍练 - 教学科研 )，可以用来评价回归方程的优劣。R2 随着自变量个数的增加而增加，所以需要校正；校正决定系数 (Logistic 回归分析简介 - 初学乍练 - 教学科研 ) 越大，方程越优。但亦有研究指出 R2 是多元线性回归中经常用到的一个指标，表示的是因变量的变动中由模型中自变量所解释的百分比，并不涉及预测值与观测值之间差别的问题，因此在 logistic 回归中不适合。
② Cp 选择法：选择 Cp 最接近 p 或 p＋1 的方程（不同学者解释不同）。Cp 无法用 SPSS 直接计算，可能需要手工。1964 年 CL Mallows 提出：
Cp 接近（p+1）的模型为最佳，其中 p 为方程中自变量的个数，m 为自变量总个数。
③ AIC 准则：1973 年由日本学者赤池提出 AIC 计算准则，AIC 越小拟合的方程越好。
在 logistic 回归中，评价模型拟合优度的指标主要有 Pearson χ2、偏差 (deviance)、Hosmer- Lemeshow (HL) 指标、Akaike 信息准则 (AIC)、SC 指标等。Pearson χ2、偏差 (deviance) 主要用于自变量不多且为分类变量的情况，当自变量增多且含有连续型变量时，用 HL 指标则更为恰当。Pearson χ2、偏差 (deviance)、Hosmer- Lemeshow (HL) 指标值均服从χ2 分布，χ2 检验无统计学意义 (P>0.05) 表示模型拟合的较好，χ2 检验有统计学意义 (P ≤ 0.05) 则表示模型拟合的较差。AIC 和 SC 指标还可用于比较模型的优劣，当拟合多个模型时，可以将不同模型按其 AIC 和 SC 指标值排序，AIC 和 SC 值较小者一般认为拟合得更好。
6． 拟合方程的注意事项：
① 进行方程拟合对自变量筛选采用逐步选择法 [前进法（forward）、后退法（backward）、逐步回归法（stepwise）] 时，引入变量的检验水准要小于或等于剔除变量的检验水准；
② 小样本检验水准α定为 0.10 或 0.15，大样本把α定为 0.05。值越小说明自变量选取的标准越严；
③ 在逐步回归的时可根据需要放宽或限制进入方程的标准，或硬性将最感兴趣的研究变量选入方程；
④ 强影响点记录的选择：从理论上讲，每一个样本点对回归模型的影响应该是同等的，实际并非如此。有些样本点（记录）对回归模型影响很大。对由过失或错误造成的点应删去，没有错误的强影响点可能和自变量与应变量的相关有关，不可轻易删除。
⑤ 多重共线性的诊断（SPSS 中的指标）：a 容许度：越近似于 0，共线性越强；b 特征根：越近似于 0，共线性越强；c 条件指数：越大，共线性越强；
⑥ 异常点的检查：主要包括特异点 (outher)、高杠杆点 (high leverage points) 以及强影响点 (influential points)。
特异点是指残差较其他各点大得多的点；高杠杆点是指距离其他样品较远的点；强影响点是指对模型有较大影响的点，模型中包含该点与不包含该 点会使求得的回归系数相差很大。单独的特异点或高杠杆点不一定会影响回归系数的估计，但如果既是特异点又是高杠杆点则很可能是一个影响回归方程的「有害」 点。
对特异点、高杠杆点、强影响点诊断的指标有 Pearson 残差、Deviance 残差、杠杆度统计量 H（hat matrix diagnosis）、Cook 距离、DFBETA、Score 检验统计量等。这五个指标中，Pearson 残差、Deviance 残差可用来检查特异点，如果某观测值的残差值>2，则可认为是一个特异点。杠杆度统计量 H 可用来发现高杠杆点， H 值大的样品说明距离其他样品较远，可认为是一个高杠杆点。Cook 距离、DFBETA 指标可用来度量特异点或高杠杆点对回归模型的影响程度。
Cook 距离是标准化残差和杠杆度两者的合成指标，其值越大，表明所对应的观测值的影响越大。DFBETA 指标值反映了某个样品被删除后 logistic 回归系数的变化，变化越大 (即 DFBETA 指标值越大)，表明该观测值的影响越大。如果模型中检查出有特异点、高杠杆点或强影响点，首先应根据专业知识、数据收集的情况，分析其产生原因后酌情处 理。如来自测量或记录错误，应剔除或校正，否则处置就必须持慎重态度，考虑是否采用新的模型，而不能只是简单地删除就算完事。因为在许多场合，异常点的出 现恰好是我们探测某些事先不清楚的或许更为重要因素的线索。
7． 回归系数符号反常与主要变量选不进方程的原因：
① 存在多元共线性；
② 有重要影响的因素未包括在内；
③ 某些变量个体间的差异很大；
④ 样本内突出点上数据误差大；
⑤ 变量的变化范围较小；
⑥ 样本数太少。
8． 参数意义
① Logistic 回归中的常数项（b0）表示，在不接触任何潜在危险／保护因素条件下，效应指标发生与不发生事件的概率之比的对数值。
② Logistic 回归中的回归系数（bi）表示，其它所有自变量固定不变，某一因素改变一个单位时，效应指标发生与不发生事件的概率之比的对数变化值，即 OR 或 RR 的对数值。需要指出的是，回归系数β的大小并不反映变量对疾病发生的重要性，那么哪种因素对模型贡献最大即与疾病联系最强呢? (InL(t-1)-InL(t)) 三种方法结果基本一致。
③ 存在因素间交互作用时，Logistic 回归系数的解释变得更为复杂，应特别小心。
④ 模型估计出 OR，当发病率较低时，OR≈RR，因此发病率高的疾病资料不适合使用该模型。另外，Logistic 模型不能利用随访研究中的时间信息，不考虑发病时间上的差异，因而只适于随访期较短的资料，否则随着随访期的延长，回归系数变得不稳定，标准误增加。
9． 统计软件
能够进行 logistic 回归分析的软件非常多，常用的有 SPSS、SAS、Stata、EGRET (Epidemiological Graphics Estimation and Testing Package) 等。
