算术均数与几何均数的意义及计算方法

 

　　（一）算术均数　简称均数。设观察了n个变量值X ₁ ，X ₂ ，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。

式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成

X=１/n∑X （4.6)

例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。

350	320	260	380	270	235	285	300	300	200
275	280	290	310	300	280	300	310	310	320

X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g

　　样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X） ² 为最小，前者读者

可自证，后者证明如下：

设：a≠X，则a＝X±d　d>0

　　∑(X-a) ² ＝∑(X-X±d) ²

　　 ^＝ ∑[(X-X)±d] ²

　　  ^＝ ∑(X-X) ² ±2d∑(X-X)+Nd ²

从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0，

得

　　∑（X－a） ² ＝∑（X－X） ² ＋Nd ²

　　 N是例数，不可能为负，所以Nd ² 也不会是负数。

　　∑（X－a） ² ＞∑（X－X） ² ，∑（X－X） ² 为最小。

当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。

　　X＝C＋1/n×（X _i －C）　　　　　　　　　　 （4.7）

若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8）

　　X＝X  _n-1 +1/n×（X _n -X _n-1  (4.8)

　　例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X _１０ =292.37,又测得X ₂₀ =320，求X ₂₀ 。

　　X ₂₀ ＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g

若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式（4.9）计算X。

　　 或简写为X＝1/n∑fX　(4.9)

式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。

例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。

X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5）=17.9天

式（4.9）中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样

计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。

　　（二）几何均数　设n个变量值X ₁ ，X ₂ ，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为

式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算

　(4.10)

　　或　　　　　   　(4.11)

式中符号含义同式（4.6）与式（4.9）。

例4.6　求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。

表4.6　52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒
特异性IgG荧光抗体滴度

IgG滴度倒数	例数
40	3
80	22
160	17
320	9
640	0
1280	1

　　G=log ^-1 [1/52×(3log40+22log80+…+log1280）]=129.3

麻疹患者恢复期血清麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度为1:129。

　　式（4.10）包含三个步骤，（1）令X _i =logX _i ，则式（4.10）可写成 ；(2)1/n∑X _i

　　即对数数值的均数X；（3）将X取反对数即得几何均数1og ^-1 X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式（4.6）至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。