正态分布及其性质

 

一群变量值可能用平均数描述集中的位置，用变异指标描述离散情况，而频数表则把变量值的分布描绘得更具体。为了直观还可把频数表画成直方图。如第四章中曾将7岁男童坐高的频数分布绘成图4.1。从图中可看出数据集中均数周围，左右基本对称，离均数愈近数据愈多，离均数愈远数据愈少的特点。医学科研中如健康人的红细胞数、血红蛋白量、血清总胆固醇，同年龄同性别儿童的身高、体重等，虽然数据各异，但画出的直方图图形是类似的。可以设想，这种类型的资料，如果调查例数无限增多，所用组距又无限的小，那么直方顶端就连成了一条光滑的曲线。这条曲线，典型地反映了这类资料的分布情况，数学上称为正态曲线，其方程为

式中n为总频数，X为变量值，μ为均数，σ为标准差，Y为纵高，e=2.71828……，π=3.14158……。在一个总体中n、μ、σ、e、π都是常数，只有X在变，所以Y=f(x)。

式（5.1）亦可写成：

由上式可看出曲线的性质：

1．曲线左右对称。X-μ无论是正或负，只要绝对值就相等，Y值就相等。所以只要X与μ的距离相等，Y就相等。Y值以X=μ为对称轴。

　　2．中位数、均数、众数重合。正态曲线在横轴上方。当X=μ时，e ⁰ =1，Y为极大，所以均数与众数密合。由于曲线左右对称，所以均数亦即中位数。e的指数愈大，Y愈小，但不会得负值，所以Y>0，曲线在横轴上方。

3．随着（X-μ/σ）的绝对值的增加，曲线由平均数所在点向左右两方迅速下降。

4．离平均数左右1σ处为曲线拐点。在μ±σ以内曲线向下弯曲，以外则向上弯曲。

这种类型的资料，数据值虽各不相同，但都有其均数与标准差，如果横轴上各以其均数为原点，标准差为单位，并令x=X-μ，那么（X-μ）/σ可写成x/σ，称为正态离差u，

　(5.2)　

再令总频数为1。这时曲线以μ为原点，以σ为单位，称为标准正态曲线，其公式为

　(5.3)

　　以μ为均数，σ ² 为方差的正态分布可记为N（μ，σ ² ），因此标准正态分布可记为N（0，1）。

图5.2　标准正态曲线