正态曲线下面积

 

直方图是以直方的面积表示数量的。直方顶端连成曲线后，整个曲线下面积就表示总频数，用1或100%表示。一定区间曲线下面积就是出现在此区间的频数与总频数之比，或出现在该区间的各个变量的概率之和。例如以7岁男童102人为100%，则若要知道坐高在66至68cm间的人数占总人数的百分比，只要知道曲线下横坐标为66至68cm区间内的面积就可以了。因此求出曲线下面积有其实用意义。

曲线下某区间的面积，可根据曲线方程用积分求得，但若每次应用时都要用积分计算，那是很麻烦的。前人已将标准正态曲线下0至各u值的面积计算出来的了。由于各书列的方式不完全相同，所以使用时要注意表上的图示或说明，仍用7岁男童坐高资料为例说明正态曲线下面积表（附表2）的使用方法。该表左侧及上端为u值，表中数字为横轴自0至u曲线下的面积。

例5.1　根据表4.3的资料计算得坐高的X=66.72，S=2.08，试估计总体中坐高在

（1）66.72-68.80cm间。

（2）66～68cm间及（3）68～70cm间的人数各占总人数的百分比。

（1）求坐高在66.72～68.80cm 之间曲线下面积。

①求u（u=(X-μ)/σ，这里分别以X、S作为μ与σ的估计值）

（66.72-66.72）/2.08=0

（66.80-66.72）/2.80=1

标准正态曲线下面积见图5.3（a）。

②查附表2，u自0至1的面积，即查u=1.00，得α/2=0.3413。坐高在此区间内的人数占总人数的34.13%。

（2）求坐高在66～68cm之间曲线下面积。

①求u

(66-66.72)/2.08=-0.346

(68-66.72)/2.08=0.615

标准正态曲线下面积见图5.3(b)

②查附表2　u=0.346，得α/2=0.1353(经内插法求得，下同)

u=0.615，得α/2=0.2308

0.1353+0.2308=0.3661

坐高在此区间内的人数占总人数的36.61%，即102×0.3661=37.3人，与实际观察所得38人相近。

图5.3　正态曲线下面积之计算

（3）求坐高在68～70cm间的人数占总人数的百分比。

①求u

(68-66.72)/2.08=0.615

(70-66.72)/2.08=1.577

标准正态曲线下面积见图5.3(c)

②查附表2， u=1.577,得α/2=0.4426

u=0.615,得α/2=0.2308

0.4426-0.2308=0.2118

坐高在此区间内的人数点总人数的21.18%，即有102×0.2118=21.6人。与实际观察所得20人相近。

从例5.1可见，因为正态曲线对称于原点，所以不论u为正还是负，绝对值相同时，自0至u的面积相同。查附表2时，若两个u值中有一个是0，按另一u值查得α/2；若两个u异号，将查出的两个α/2值相加；若两个u同号，则将大的α/2值减去小的即得。但不能将两个u值相加（或减）后再查面积。

例5.1已求得u从0-1时，α/2=0.3413,所以u从-1～1，曲线下面积为0.6827，说明有68.27%的变量值在μ±σ的范围内（见图5.2）。查附表2，当u=1.96时，α/2=0.475，因此μ±1.96σ的范围内包含有95%的变量值，只有5%的变量值在此范围外。由于曲线左右对称，因此有2.5%的变量值等于或小于μ-1.96σ;2.5%变量值等于或大于μ+1.96σ。同理，查附表2，u=2.58时,α/2=0.495,因此μ±2.58σ范围内有99%的变量值，在此范围外的仅占1%。u=1.96和u=2.58（准确说是u=2.5758）是正态分布中两个重要的界值，称5%界和1%界，今后在正常值范围估计、假设检验等中常常要用到。

如果已知资料呈正态分布，那么理论上只要知道μ和σ就可根据曲线下面积表求出任两值之间变量值的个数，也就是说能算出变量值的频数分配。但实际上μ和σ常常无法获得，因此只能用X和S作为μ和σ的估计值，来估计总

体中变量值（个体值）的分布。