正态性检验与两方差的齐性检验

 

第三节　正态性检验与两方差的齐性检验

　　检验两个样本均数相差的显著性时，我们先有假定：第一个样本系从均数为μ ₁ 、方差为σ ₁ ² 的正态总体中随机取出，第二个样本取自另一个类似的总体，相应的总体参数为μ ₂ 与σ ₂ ² ，两个总体的方差应相等即σ ₁ ² =σ ₂ ² ，然后才可用上述方法进行显著性检验，如果资料呈显著偏态，或两组方差相差悬殊，就要考虑用第十章非参数统计方法处理，或者通过变量代换，使上述条件得到满足。那么，怎样知道手头的样本资料是否服从正态分布及两组方差是否相差显著呢？要对手头资料作正态检验及方差齐性检验。下面分别用实例介绍常用的正态性检验和两方差齐性检验的方法。

一、正态性检验

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况，用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显著等，因此在用这些方法前，需考虑进行正态性检验。

正态分布的特征是对称和正态峰。分布对称时众数和均数密合，若均数-众数>0，称正偏态。因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长，故又称右偏态；若均数-众数<0称负偏态。因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长，故又称左偏态，见图7.1(a)。

正态曲线的峰度叫正态峰，见图7.1(b)中的虚线，离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰，离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。

图7.1　频数分布的偏度和峰度

正态性检验的方法有两类。一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验，另一类是对两者各用一个指标检验，前者有W法、D法、正态概率纸法等，后者有动差法亦称矩法。现仅将W法与动差法分述于下；

1．W法　此法宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n≤50时，检验步骤如下；

　　（1）将n个变量值X _i 从小至大排队编秩。

　　X _{1 2} <……

见表7.5第（1）栏，表中第（2）、第（3）栏是变量值，第（2）栏由上而下从小至大排列，第（3）栏由下而上从小至大排列。第（4）栏是第（3）栏与第（2）栏之差。

　　（2）由附表5按n查出a _in 系数列入表7.5第（5）栏，由于当n为奇数时，对应于中位数秩次的a _in 为0，所以中位数只列出，不参加计算。第（6）栏是第（5）栏与第（4）栏的乘积。

（3）按式（7.8）计算W值

（7.8）

　　式中分子的∑，当n是偶数时，为 的缩写，当n是奇数时为 的缩写，表7.5

第（6）栏的合计平方后即为分子。分母按原始资料计算。

　　（4）查附表6得P值，作出推断结论，按n查得W（n，α），α是检验前指定的检验水准，若W>W（n，α）则在α水准上按受H ₀ ，资料来自正态分布总体，或服从正态分布；若W≤W（n，α），则在α水准上拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，资料非正态。

例7.8　测得20例40―49岁健康人右侧腓总神经的传导速度（m/sec）如表7.5第（2）、第（3）栏，试检验此资料是否服从正态分布。

　　H ₀ ：总体服从正态分布

　　H ₁ ：总体为非正态分布

α=0.05

计算表7.5各栏。

表7.5　W法正态性检验计算表

秩号 传导速度（m/sec） i
(1) X _i
(2) X _a-i+1
(3) X _a-i+1 -X _i
(4)=(3)-(2) a _in
(5) a _in (X _a-i+1 -X _i )
(6)=(5)(4) 1 40.7 56.7 16.0 0.4734 7.5744 2 40.9 56.0 15.1 0.3211 4.8486 3 46.0 55.0 9.0 0.2565 2.3085 4 47.6 54.9 7.3 0.2085 1.5221 5 47.7 53.5 5.8 0.1686 0.9779 6 48.3 52.9 4.6 0.1334 0.6136 7 49.1 51.8 2.7 0.1013 0.2735 8 50.0 50.9 0.9 0.0711 0.0640 9 50.1 50.9 0.8 0.0422 0.0338 10 50.2 50.8 0.6 0.0140 0.0084

18.2240

∑a _in (X _a-i+1 -X _i )

　　∑X _i =1004　　　　∑X _i ² =50756.16　　　　∑(X-x ) ² =355.36

代入式（7.8）

　　W=（18.2240） ² /355.36=0.9347

　　查附表6，n=20，α=0.05，W _{（20，0.05）} =0.905

　　W>W _{（20，0.05）} 　P>0.1，在α=0.05水准上接受H ₀ ，该资料服从正态分布。

　　2．动差法　又称矩法。既能用于小样本资料，亦可用于大样本资料的正态性检验。本法运用数学上三级动差和四组动差分别组成偏度系数与峰度系数，然后检验资料中否服从正态分布。当频数分布为正态时，偏度系数与峰度系数分别等于0，但从正态分布总体中抽出的随机样本，由于存在抽样误差，其样本偏度系数g ₁ 与样本峰度系数g ₂ 不一定为0，为此，需检验g ₁ 、g ₂ 与0的相差是否有显著性。其检验假设为①偏度系数等于O，即频数分布对称；②峰度系数等于0，即为正态峰。

　　偏度系数g ₁ 、峰度系数g ₂ 的公式见式（7.9）与（7.11）。当用频数表资料计算时可用式（7.10）与式（7.12），式中n为例数，f为频数。

　　 　（7.10）

　　 　（7.11）

　　 （7.12）

　　g