X2检验

 

第二节　X ² 检验

　　X ² （称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

一、两个率的比较

　　（一）X ² 检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X ² 检验。其基本步骤如下：

1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

　　2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H ₀ ：π ₁ =π ₂ 。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

　　上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H ₀ 被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H ₁ 。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H ₁ ：π ₁ ≠π ₂

　　因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H ₀ 都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

计算理论频数也可用下式（3.4）

　　T _RC =n _R n _C /N (3.4)

　　式中，T _RC 为R行与C列相交格子的理论频数，n _R 为与计算的理论频数同行的合计数，n _C 为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

　　例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T _{1 １} ）为

　　T _1１ ＝ 75×70/200=26.25

用两种方法计算，结果是相同的。

　　4．计算χ ² 值，计算χ ² 值的基本公式为：

　　X ² =∑（A-T） ² /t 　（3.5）

式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

　　将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ ² 值。此例χ ² =4.929。

　　从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ ² 值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H ₀ ，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ ² 值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ ² 值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ ² 值表（附表1），查χ ² 值表前先要定自由度。

5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

ν=（R-1）（C-1） （3.6）

式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作结论　根据自由度查χ ² 值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ ² 值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ ² 值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ ² 值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ ² 值也越大。χ ² 值与概率P呈相反的关系。χ ² 检验的常用界值为：

　　χ ² <χ> ² _0.05（） P>0.05 在α=0.05水准处接受H ₀ ，差别不显著

　　χ ² _0.05 ≤χ ² <χ> ² _0.01() 0.05≥P>0.01 在α=0.05水准处拒绝H _O ，接受H ₁ ，差别显著

　　χ ² ≥χ ² _{0 . 01（）} P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H _O ，接受H ₁ ，差别显著

　　这里α是预定的检验水准。χ ² _0.05（） 是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ ² 值，简称5%点，χ ² _0.01（） 是与P=0.01相对应的χ ² 值，简称1%点。

　　当ν=1时，χ ² _0.05（1） 3.84，χ ² _0.01（1） =6.63。本例自由度为1，求得χ ² =4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ ² _0.05（1） <χ> ² <χ> ² _0.01（1） 。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ ² =4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

　　在α=0.05水准处拒绝H ₀ ，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

下面将实例的检验步骤集中列出。

例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别 治疗人数 死亡人数 病死率（%） 抗凝血组 75 19 25.33 对 照 组 125 51 40.80 总 计 200 70 35.00

检验步骤如下：

1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

　 死亡 生存 合计 抗凝血组 19(26.25) 56(48.75) 75 对照组 51（43.75） 74(81.25) 125 总 计 70 130 200

　　2．H ₀ ：两疗法的总体病死率相同，即 _π1