正态性检验

 

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况，用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显著等，因此在用这些方法前，需考虑进行正态性检验。

正态分布的特征是对称和正态峰。分布对称时众数和均数密合，若均数-众数>0，称正偏态。因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长，故又称右偏态；若均数-众数<0称负偏态。因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长，故又称左偏态，见图7.1(a)。

正态曲线的峰度叫正态峰，见图7.1(b)中的虚线，离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰，离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。

图7.1　频数分布的偏度和峰度

正态性检验的方法有两类。一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验，另一类是对两者各用一个指标检验，前者有W法、D法、正态概率纸法等，后者有动差法亦称矩法。现仅将W法与动差法分述于下；

1．W法　此法宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n≤50时，检验步骤如下；

　　（1）将n个变量值X _i 从小至大排队编秩。

　　X _{1 2} <…… < p>

见表7.5第（1）栏，表中第（2）、第（3）栏是变量值，第（2）栏由上而下从小至大排列，第（3）栏由下而上从小至大排列。第（4）栏是第（3）栏与第（2）栏之差。

　　（2）由附表5按n查出a _in 系数列入表7.5第（5）栏，由于当n为奇数时，对应于中位数秩次的a _in 为0，所以中位数只列出，不参加计算。第（6）栏是第（5）栏与第（4）栏的乘积。

（3）按式（7.8）计算W值

（7.8）

　　式中分子的∑，当n是偶数时，为 的缩写，当n是奇数时为 的缩写，表7.5

第（6）栏的合计平方后即为分子。分母按原始资料计算。

　　（4）查附表6得P值，作出推断结论，按n查得W（n，α），α是检验前指定的检验水准，若W>W（n，α）则在α水准上按受H ₀ ，资料来自正态分布总体，或服从正态分布；若W≤W（n，α），则在α水准上拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，资料非正态。

例7.8　测得20例40―49岁健康人右侧腓总神经的传导速度（m/sec）如表7.5第（2）、第（3）栏，试检验此资料是否服从正态分布。

　　H ₀ ：总体服从正态分布

　　H ₁ ：总体为非正态分布

α=0.05

计算表7.5各栏。

表7.5　W法正态性检验计算表

秩号	传导速度（m/sec）
i (1)	X i (2)	X a-i+1 (3)	X a-i+1 -X i (4)=(3)-(2)	a in (5)	a in (X a-i+1 -X i ) (6)=(5)(4)
1	40.7	56.7	16.0	0.4734	7.5744
2	40.9	56.0	15.1	0.3211	4.8486
3	46.0	55.0	9.0	0.2565	2.3085
4	47.6	54.9	7.3	0.2085	1.5221
5	47.7	53.5	5.8	0.1686	0.9779
6	48.3	52.9	4.6	0.1334	0.6136
7	49.1	51.8	2.7	0.1013	0.2735
8	50.0	50.9	0.9	0.0711	0.0640
9	50.1	50.9	0.8	0.0422	0.0338
10	50.2	50.8	0.6	0.0140	0.0084
18.2240 ∑a in (X a-i+1 -X i )

　　∑X _i =1004　　　　∑X _i ² =50756.16　　　　∑(X-x ) ² =355.36

代入式（7.8）

　　W=（18.2240） ² /355.36=0.9347

　　查附表6，n=20，α=0.05，W _{（20，0.05）} =0.905

　　W>W _{（20，0.05）} 　P>0.1，在α=0.05水准上接受H ₀ ，该资料服从正态分布。

　　2．动差法　又称矩法。既能用于小样本资料，亦可用于大样本资料的正态性检验。本法运用数学上三级动差和四组动差分别组成偏度系数与峰度系数，然后检验资料中否服从正态分布。当频数分布为正态时，偏度系数与峰度系数分别等于0，但从正态分布总体中抽出的随机样本，由于存在抽样误差，其样本偏度系数g ₁ 与样本峰度系数g ₂ 不一定为0，为此，需检验g ₁ 、g ₂ 与0的相差是否有显著性。其检验假设为①偏度系数等于O，即频数分布对称；②峰度系数等于0，即为正态峰。

　　偏度系数g ₁ 、峰度系数g ₂ 的公式见式（7.9）与（7.11）。当用频数表资料计算时可用式（7.10）与式（7.12），式中n为例数，f为频数。

　　 　（7.10）

　　 　（7.11）

　　 （7.12）

　　g ₁ 、g ₂ 的抽样误差分别为S _g1 与S _g2 ，见式（7.13）与式（7.14）

 　(7.13)

　　  (7.14)

假设检验用u检验，其公式为

　　u ₁ =g ₁ /S _g1 　　　　　　　　　　　　　　　 (7.15)

　　u ₂ =g ₂ /S _g2 　　　　　　　　　　　　　　　　(7.16)

u的显著性界限为

　　�u�<1.96P>0.05在α=0.05的水准上接受H ₀ 。

　　1.96≤�u�<2.580.05≥P>0.01在α=0.05的水准上拒绝H ₀ 。

　　�u�≥2.58P≤0.01在α=0.01的水准上拒绝H ₀ 。

例7.9　用动差法检验例7.8的资料是否服从正态分布。

　　1．H ₀ ：频数分布对称，H ₁ ：频数分布不对称。

　　2．H ₀ ：频数分布为正态峰，H ₁ ：频数分布不是正态峰。

α=0.05

　　∑（X-x ） ² =355.36，∑（X-x ） ³ =-1032.45

　　∑（X-x ） ⁴ =20150.4316　 n=20

　　u ₂ =0.6221/0.9924=0.627　P>0.20

　　在α=0.05的水准上接受H ₀ ，频数分布对称（P>0.05），并为正态峰（P>0.20）。因此可认为该资料服从正态分布。