两个率的比较

 

　　（一）X ² 检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X ² 检验。其基本步骤如下：

1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

　　2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H ₀ ：π ₁ =π ₂ 。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

　　上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H ₀ 被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H ₁ 。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H ₁ ：π ₁ ≠π ₂

　　因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H ₀ 都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。

3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

计算理论频数也可用下式（3.4）

　　T _RC =n _R n _C /N (3.4)

　　式中，T _RC 为R行与C列相交格子的理论频数，n _R 为与计算的理论频数同行的合计数，n _C 为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

　　例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T _{1 １} ）为

　　T _1１ ＝ 75×70/200=26.25

用两种方法计算，结果是相同的。

　　4．计算χ ² 值，计算χ ² 值的基本公式为：

　　X ² =∑（A-T） ² /t 　（3.5）

式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

　　将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ ² 值。此例χ ² =4.929。

　　从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ ² 值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H ₀ ，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ ² 值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ ² 值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ ² 值表（附表1），查χ ² 值表前先要定自由度。

5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

ν=（R-1）（C-1） （3.6）

式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作结论　根据自由度查χ ² 值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ ² 值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ ² 值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ ² 值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ ² 值也越大。χ ² 值与概率P呈相反的关系。χ ² 检验的常用界值为：

　　χ ² <χ ² _0.05（） P>0.05 在α=0.05水准处接受H ₀ ，差别不显著

　　χ ² _0.05 ≤χ ² <χ ² _0.01() 0.05≥P>0.01 在α=0.05水准处拒绝H _O ，接受H ₁ ，差别显著

　　χ ² ≥χ ² _{0 . 01（）} P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H _O ，接受H ₁ ，差别显著

　　这里α是预定的检验水准。χ ² _0.05（） 是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ ² 值，简称5%点，χ ² _0.01（） 是与P=0.01相对应的χ ² 值，简称1%点。

　　当ν=1时，χ ² _0.05（1） 3.84，χ ² _0.01（1） =6.63。本例自由度为1，求得χ ² =4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ ² _0.05（1） <χ ² <χ ² _0.01（1） 。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ ² =4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

　　在α=0.05水准处拒绝H ₀ ，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

下面将实例的检验步骤集中列出。

例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别	治疗人数	死亡人数	病死率（%）
抗凝血组	75	19	25.33
对 照 组	125	51	40.80
总 计	200	70	35.00

检验步骤如下：

1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

	死亡	生存	合计
抗凝血组	19(26.25)	56(48.75)	75
对照组	51（43.75）	74(81.25)	125
总 计	70	130	200

　　2．H ₀ ：两疗法的总体病死率相同，即 _π1 = _π2

　　H ₁ ：两疗法的总体病死率不同，即 _π1 ≠ _π2

α=0.05

3．求理论频数

抗凝血组：

死亡人数为75×35.0%=26.25人

存活人数为 75-26.25=48.75人

对照组：

死亡人数为125×35.0%=43.75人

存活人数为 125-43.75=81.25人

把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　4．求χ ² 值 将表3.6里的数值代入式（3.5）得，

5．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（2-1）（2-1）=1，χ ² _0.05（1） =3.84,χ ² _0.01（1） =6.63,

　　本例χ ² =4.929,χ ² _0.05（1） <χ ² <χ ² _0.01（1） ，则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

　　上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X ² 检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ ² 值，二者相差越大，χ ² 值也越大。本例得χ ² =4.929，根据自由度为1时的χ ² 分布推断，从同一总体内抽样，出现χ ² 值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。

　　（二）连续性校正公式　χ ² 检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ ² 检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ ² 值比不校正的小一些，校正公式是：

　　 （3.7）　

公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

将表3.5资料代入式（3.7）得：

　　检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1），理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5）求出的χ ² 值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ ² 值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ ² 值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。

　　当用公式（3.5）求出的χ ² 值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。

例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

	烟薰后鼠洞情况	合计   (实验观察洞数)	灭洞率（%）
未盗开	盗开
04号配方	13(16.63)	9(5.37)	22	59.1
05号配方	80(76.37)	21(24.63)	101	79.2
总计	93	30	123	75.6

　　现用公式（3.5）及式（3.6）分别计算χ ² 值如下：

　　校正后的χ ² 值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水准处接受H ₀ ，认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异，这相结论是比较合理的，如果不经校正就会得出错误的结论。

　　（三）四格表中求χ ² 的专用公式　用上述基本公式（3.5）求χ ² 值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。

　（3.8）

式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=a+b+c+d）。

现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ ² 值专用公式的符号

	死 亡	生存	合 计
抗凝血组	19(a)	56(b)	75(a+b)
对照组	51(c)	74(d)	125(c+d)
	70（a+c）	130(b+d)	200(N)

将实际频数代入式（3.8）得，

　　这里用专用公式求得的χ ² 值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。

前面已介绍了连续性校正公式（3.7），为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9），并以表3.8资料代入计算如下：

（3.9）

所得结果与式(3.7)求得的一致。